Para la mayoría de las personas que no tienen el alemán como lengua materna, estos tres sonidos son los más difíciles.
La ä es una a pero la parte superior de la lengua va subiendo, disminuyendo así la cavidad bucal.
La ö es una o pero la parte superior de la lengua va subiendo, disminuyendo así la cavidad bucal y los labios se agudizan un poco, como para silbar.
La ü es una u pero la parte superior de la lengua va subiendo, disminuyendo así la cavidad bucal, y los labios se agudizan un poco, como para silbar.

ä, Ä
ähnlich similar
Ärger fastidio
sägen serrar
ö, Ö
öffentlich en público
Öl aceite
Möbel mueble
ü, Ü
(este sonido también existe en francés: survivre (sobrevivir) , sur (seguro), curer (curar))
über sobre
merkwürdig raro
Lüge mentira

La verdad es que hay muchas maneras diferentes de producir los Umlauts. A lo mejor le ayude mirar esta animación. En ella exageramos un poco para que se vea mejor la posición de los labios al producir dichos sonidos.

a, A             ä,Ä             o, O             ö, Ö             u, U             ü, Ü