La diferencia entre beide y zwei es bastante sutil. Beide significa que las dos personas, cosas o animales, tienen ciertas características, o sea se refiere a cada persona, cosa, animal de manera aislada, mientras que zwei se refiere más bien a dos personas, cosas o animales en su conjunto. Pero ¡cuidado! Die beiden se refiere a dos personas, animales o cosas en su conjunto.

Miremos estos ejemplos
Beide kaufen sich jetzt ein Auto.
= Ambos se compran un coche ahora. (un coche para cada uno)
Die beiden kaufen sich jetzt ein Auto.
= Los dos se compran un coche. (un coche para los dos)
Mir gefallen beide.
= Ambos me gustan. (Ambos me gustan, cada uno por sí)
Mir gefallen die zwei / die beiden.
= Estos dos me gustan. (Me gustan los dos en su conjunto)
Beide haben gelogen.
= Ambos mintieron. (Cada uno de ellos mintió independiente del otro).
Die zwei / Die beiden haben gelogen.
= Los dos mintieron. (Los dos juntos mintieron, no necesariamente de manera independiente)
Beide haben ihn gefragt.
= Ambos le preguntaron (en total le preguntaron dos veces)
Die zwei haben ihn gefragt.
= Los dos le preguntaron (le han preguntado sólo una vez)

Confundiendo beide con die zwei / die beiden en general el sentido de la frase sólo cambia un poquitín. Pero en algunas circunstancias suena rarísimo utilizar die zwei/ die beiden en vez de beide.

Miremos este ejemplo
incorrecto: Ich habe mir die zwei Arme gebrochen.
= Me he quebrado los dos brazos.
correcto: Ich habe mir beide Arme gebrochen.
= Me he quebrado ambos brazos.

En español la diferencia no es tan notable, pero en alemán, la frase significa que me he quebrado dos de la cantidad de brazos que tengo. Sabemos que los seres humanos en general sólo tienen dos brazos y si no nos convertimos en una especie de shiva esto será así hasta el fin de la especie humana.