A lo mejor conviene ver bien claro la diferencia entre un adverbio y un complemento circunstancial, porque no todo el mundo entiende por adverbio la misma cosa. La palabra adverbio puede referirse a un tipo determinado de palabra o a una función. Esto no es lo mismo como vamos a ver enseguida. Miremos estas dos frases:

a) Corre rápido.
b) Es un coche rápido.

En a) rápido es adverbio y en b) es adjetivo. En un tipo de frase a) rápido no tiene ni género ni número y en una frase de tipo b) rápido tiene el mismo género y número que el sustantivo al cual se refiere.

Corren rápido.
Son unos coches rápidos.

Si decimos que un adverbio tiene una cierta función, producimos una contradicción. Por esto hay gramáticas que distinguen claramente entre un adverbio y un complemento circunstancial. Estas gramáticas llaman adverbios solamente a aquellas palabras que únicamente pueden servir para precisar un verbo, un adjetivo u otro adverbio y que no son variables. De este tipo son en español palabras como bien, enormemente y muy. Adjetivos y otras palabras que pueden especificar un verbo, adjetivo u otro adverbio, pero que también pueden tener otras funciones gramaticales, dichas gramáticas las llaman complemento circunstancial.

Ejemplos
Lo hace con mucho cuidado.
Gritando se emborracharon.
Lo hago con mucho gusto.

Con mucho cuidado, gritando, con mucho gusto, no son adverbios, porque todas estas palabras pueden tener funciones que un adverbio no puede tener nunca y por ésto los llamamos complemento circunstancial. Si la palabra adverbio hiciera referencia a una función de una palabra, entonces se llamaría adverbio a muchos tipos muy distintos de palabras .

Distinguir entre un adverbio y un complemento circunstancial es importante en ciertos momentos, pero en cuanto se refiere a los aspectos que nos interesan, los adverbios no se distinguen de los complementos circunstanciales y por lo tanto en los capítulos siguientes vamos a hablar sólo de adverbios, pero nos referimos a ambos.