En cuanto se refiere al género y al número, el pronombre relativo está determinado por el género y el número de la palabra a la que se refiere. En cuanto se refiere al caso, está determinado por el caso que tiene dentro de la frase relativa. Puh, suena difícil, ¿no? Veamos un par de ejemplos y después vamos a discutir este asunto de una manera más sistemática.

Ejemplos, si el pronombre relativo es objeto directo:

a1) El hombre que ves ahí, es un amigo de mi padre.
a1) Der Mann, den du da siehst, ist ein Freund meines Vaters.

b1) Los hombres que ves ahí, son amigos de mi padre.
b1) Die Männer, die du da siehst, sind Freunde meines Vaters.

c1) La mujer que ves ahí, es una amiga de mi padre.
c) Die Frau, die du da siehst, ist eine Freundin meines Vaters.

d1) Las mujeres que ves ahí, son amigas de mi madre.
d1) Die Frauen, die du da siehst, sind Freundinnen meiner Mutter.

Explicación

a1) La frase a) está compuesta por dos frases.
Der Mann ist ein Freund meines Vaters.
Du siehst ihn da.
Estas dos frases las juntamos con un pronombre relativo.
Der Mann, den du da siehst, ist ein Freund meines Vaters.

Ahora debemos entender, por qué el pronombre relativo es den y no der, die o cualquier otra cosa. Para determinar el género y el número tenemos que saber a qué se refiere el pronombre relativo y, en este caso, es der Mann que es tercera persona singular masculino. Para saber el caso, tenemos que saber qué función cumple el pronombre relativo en la frase relativa y, en este caso, es un objeto directo, porque por los objetos directos se pregunta con qué (¿Qué ves? Ihn). Si nos acordamos de lo dicho en el capítulo La declinación en alemán sabemos que el Akkusativ de la tercera persona singular masculino es den.

b1) Esta frase está compuesta por estas dos frases
Die Männer sind Freunde meines Vaters.
Du siehst sie da.
Si hacemos una sola frase de estas dos, tenemos:
Die Männer, die du da siehst, sind Freunde meines Vaters.

En el fondo no hay diferencia entre esta frase y la anterior. Lo único que ha cambiado es el número, porque ahora son varios hombres. El Akkusativ, de la tercera persona plural del pronombre relativo, cuya declinación es la misma que del pronombre demostrativo der, die, das es die.

c1) Esta frase está compuesta por estas dos frases:
Die Frau ist eine Freundin meines Vaters.
Du siehst sie da.
Si hacemos una sola frase de estas dos frases tenemos:
Die Frau, die du da siehst, ist eine Freundin meines Vaters.

Ahora, el pronombre relativo se refiere a die Frau que evidentemente es tercera persona singular femenino. Como la frase no ha cambiado, el pronombre relativo juega el papel de un objeto directo y por lo tanto tiene que ser die.

d1) Esta frase esta compuesta por estas dos frases:
Die Frauen sind Freundinnen meiner Mutter.
Du siehst sie da.
Si las juntamos, tenemos:
Die Frauen, die du da siehst, sind Freundinnen meiner Mutter.

Lo único que ha cambiado es el número, que ahora es plural. Según lo aprendido en el capítulo La declinación en alemán,el pronombre relativo es die.

Ejemplos con objeto indirecto

a2) El hombre, al que he regalado el coche, es un amigo de mi padre.
a2) Der Mann, dem ich das Auto geschenkt habe, ist ein Freund meines Vaters.

b2) Los hombres, a los que he regalado el coche, son amigos de mi padre.
b2) Die Männer, denen ich das Auto geschenkt habe, sind Freunde meines Vaters.

c2) La mujer, a la que he regalado el coche, es una amiga de mi padre.
c2) Die Frau, der ich das Auto geschenkt habe, ist eine Freundin meines Vaters.

d2) Las mujeres, a las que he regalado el coche, son amigas de mi padre.
d2) Die Frauen, denen ich das Auto geschenkt habe, sind Freundinnen meines Vaters.

Explicación

a2) Esta frase está compuesta por dos frases.
Der Mann ist ein Freund meines Vaters.
Ich habe ihm ein Auto geschenkt.
Si las juntamos con un pronombre relativo tenemos:
Der Mann, dem ich ein Auto geschenkt habe, ist ein Freund meines Vaters.

La frase principal es la misma que en los ejemplos con objeto directo. Lo que ha cambiado es la frase relativa, porque ahora el pronombre relativo reemplaza un objeto indirecto (ihm). El género y el número (tercera persona singular masculino) no ha cambiado. Lo que ha cambiado es el caso en la frase relativa. Por ello, ahora es dem y no den.

Más ejemplos

El pronombre relativo se refiere al nominativo de la frase principal
Das Kind, das ein Buch liest, heißt Andrea. pronombre relativo en nominativo.
Das Kind, das ich sehe, heißt Andrea. pronombre relativo en acusativo.
Das Kind, dem ich eine Birne geschenkt habe, heißt Andrea. pronombre relativo en dativo.
Das Kind, dessen Mutter ich kenne, heißt Andrea. pronombre relativo en genitivo.
El pronombre relativo se refiere al dativo de la frase principal
Er hat dem Kind, das ein Buch liest, einen Apfel geschenkt. pronombre relativo en nominativo.
Er hat dem Kind, das ich sehe, einen Apfel geschenkt. pronombre relativo en acusativo.
Er hat dem Kind, dem ich schon eine Birne geschenkt habe, einen Apfel geschenkt. pronombre relativo en dativo.
Er hat dem Kind, dessen Mutter ich kenne, einen Apfel geschenkt. pronombre relativo en genitivo.
El pronombre relativo se refiere al acusativo de la frase principal
Ich sehe das Kind, das ein Buch liest. pronombre relativo en nominativo.
Ich sehe das Kind, das ich sehe. pronombre relativo en acusativo.
Ich sehe das Kind, dem ich eine Birne geschenkt habe. pronombre relativo en dativo.
Ich sehe das Kind, dessen Mutter ich kenne. pronombre relativo en genitivo.
El pronombre relativo se refiere al genitivo de la frase principal
Das ist der Pullover des Kindes, das ein Buch liest. pronombre relativo en nominativo.
Das ist der Pullover des Kindes, das ich sehe. pronombre relativo en acusativo.
Das ist der Pullover des Kindes, dem ich eine Birne geschenkt habe. pronombre relativo en dativo.
Das ist der Pullover des Kindes, dessen Mutter ich kenne. pronombre relativo en genitivo.

Como demuestran estos ejemplos, para el pronombre relativo no tiene ninguna importancia en qué caso está el objeto al que se refiere el pronombre relativo. El caso de un pronombre relativo está determinado únicamente por la frase relativa. En cuanto se refiere al género y al número, el pronombre relativo está determinado por el género y número del objeto al que se refiere. Las frases relativas siempre son las mismas, independientemente del caso en que estén los objetos referidos.